Komplexní tabulka integrálů
Kompletní referenční příručka pro neurčité integrály – přes 100 vzorců
Základní integrály
| Funkce f(x) | Integrál ∫f(x)dx | Definiční obor |
|---|---|---|
| \(k\) (konstanta) | \(kx + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x^n\) (kde \(n ≠ -1\)) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(x ≥ 0\), pokud \(n < 0\), jinak všechna reálná čísla |
| \(\displaystyle\frac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\displaystyle\frac{2x^{3/2}}{3} + C\) | \(x ≥ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(x > 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{x} + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^3}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{2x^2} + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(x^{1/2}\) | \(\displaystyle\frac{2x^{3/2}}{3} + C\) | \(x ≥ 0\) |
| \(x^{-1/2}\) | \(2x^{1/2} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^{1/3}\) | \(\displaystyle\frac{3x^{4/3}}{4} + C\) | Všechna reálná čísla |
Exponenciální a logaritmické funkce
| Funkce f(x) | Integrál ∫f(x)dx | Definiční obor |
|---|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(a^x\) (kde \(a > 0, a ≠ 1\)) | \(\displaystyle\frac{a^x}{\ln a} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(e^{ax}\) (kde \(a ≠ 0\)) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}}{a} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\ln x\) | \(x \ln x - x + C\) | \(x > 0\) |
| \(\log_a x\) (kde \(a > 0, a ≠ 1\)) | \(\displaystyle\frac{x \ln x - x}{\ln a} + C\) | \(x > 0\) |
| \(xe^x\) | \((x-1)e^x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x^2e^x\) | \((x^2-2x+2)e^x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(e^{ax}\sin(bx)\) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(e^{ax}\cos(bx)\) | \(\displaystyle\frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\displaystyle\frac{\ln x}{x}\) | \(\displaystyle\frac{(\ln x)^2}{2} + C\) | \(x > 0\) |
| \((\ln x)^n\) | \(x(\ln x)^n - n\int (\ln x)^{n-1} dx\) | \(x > 0\) |
| \(e^{-x^2}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{2}\text{erf}(x) + C\) | Všechna reálná čísla |
Trigonometrické funkce
| Funkce f(x) | Integrál ∫f(x)dx | Definiční obor |
|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\tan x\) | \(-\ln|\cos x| + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\cot x\) | \(\ln|\sin x| + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec x\) | \(\ln|\sec x + \tan x| + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc x\) | \(-\ln|\csc x + \cot x| + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec^2 x\) | \(\tan x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc^2 x\) | \(-\cot x + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sec x \tan x\) | \(\sec x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\csc x \cot x\) | \(-\csc x + C\) | \(x ≠ \pi n\) |
| \(\sin^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\cos^2 x\) | \(\displaystyle\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\sin x \cos x\) | \(\displaystyle\frac{\sin^2 x}{2} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\sin^3 x\) | \(-\cos x + \displaystyle\frac{\cos^3 x}{3} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\cos^3 x\) | \(\sin x - \displaystyle\frac{\sin^3 x}{3} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\tan^2 x\) | \(\tan x - x + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
| \(\sin(ax)\) | \(-\displaystyle\frac{\cos(ax)}{a} + C\) | Všechna reálná čísla, \(a ≠ 0\) |
| \(\cos(ax)\) | \(\displaystyle\frac{\sin(ax)}{a} + C\) | Všechna reálná čísla, \(a ≠ 0\) |
| \(\sin^n x\) | \(-\displaystyle\frac{\sin^{n-1} x \cos x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \sin^{n-2} x dx\) | Všechna reálná čísla |
| \(\cos^n x\) | \(\displaystyle\frac{\cos^{n-1} x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n}\int \cos^{n-2} x dx\) | Všechna reálná čísla |
Inverzní trigonometrické funkce
| Funkce f(x) | Integrál ∫f(x)dx | Definiční obor |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arccos x + C\) | \(-1 < x < 1\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\displaystyle-\frac{1}{1+x^2}\) | \(\text{arccot } x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\displaystyle\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}\) | \(\text{arcsec } |x| + C\) | \(|x| > 1\) |
| \(\arcsin x\) | \(x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(\arccos x\) | \(x \arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(\arctan x\) | \(x \arctan x - \displaystyle\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2+x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C\) | Všechna reálná čísla, \(a ≠ 0\) |
Hyperbolické funkce
| Funkce f(x) | Integrál ∫f(x)dx | Definiční obor |
|---|---|---|
| \(\sinh x\) | \(\cosh x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\cosh x\) | \(\sinh x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\tanh x\) | \(\ln(\cosh x) + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\coth x\) | \(\ln|\sinh x| + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\text{sech}^2 x\) | \(\tanh x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\text{csch}^2 x\) | \(-\coth x + C\) | \(x ≠ 0\) |
| \(\sinh^2 x\) | \(\displaystyle\frac{\sinh 2x}{4} - \frac{x}{2} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\cosh^2 x\) | \(\displaystyle\frac{\sinh 2x}{4} + \frac{x}{2} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\text{sech } x\) | \(\arctan(\sinh x) + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\text{csch } x\) | \(\ln\left|\tanh\displaystyle\frac{x}{2}\right| + C\) | \(x ≠ 0\) |
Racionální funkce
| Funkce f(x) | Integrál ∫f(x)dx | Definiční obor |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{ax + b}\) | \(\displaystyle\frac{\ln|ax + b|}{a} + C\) | \(x ≠ -\frac{b}{a}, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{(ax + b)^2}\) | \(-\displaystyle\frac{1}{a(ax + b)} + C\) | \(x ≠ -\frac{b}{a}, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C\) | Všechna reálná čísla, \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C\) | \(x ≠ ±a, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2a} \ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C\) | \(x ≠ ±a, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\ln(x^2 + a^2) + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\displaystyle\frac{x}{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{1}{2}\ln|x^2 - a^2| + C\) | \(x ≠ ±a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{(x^2 + a^2)^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2a^2(x^2 + a^2)} + \frac{1}{2a^3}\arctan\frac{x}{a} + C\) | Všechna reálná čísla, \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{x^2}{x^2 + a^2}\) | \(x - a\arctan\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | Všechna reálná čísla, \(a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{x(x+a)}\) | \(\displaystyle\frac{1}{a}\ln\left|\frac{x}{x+a}\right| + C\) | \(x ≠ 0, -a\) |
Radikálové funkce
| Funkce f(x) | Integrál ∫f(x)dx | Definiční obor |
|---|---|---|
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\ln(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(\arcsin\displaystyle\frac{x}{a} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\sqrt{a^2 - x^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C\) | \(-a ≤ x ≤ a\) |
| \(\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln(x + \sqrt{x^2+a^2}) + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\sqrt{x^2 - a^2}\) | \(\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln|x + \sqrt{x^2-a^2}| + C\) | \(|x| ≥ a\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}}\) | \(\sqrt{x^2 + a^2} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}\) | \(\sqrt{x^2 - a^2} + C\) | \(|x| > a\) |
| \(\displaystyle\frac{x}{\sqrt{a^2 - x^2}}\) | \(-\sqrt{a^2 - x^2} + C\) | \(|x| < a\) |
| \(\sqrt{ax + b}\) | \(\displaystyle\frac{2(ax + b)^{3/2}}{3a} + C\) | \(ax + b ≥ 0, a ≠ 0\) |
| \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{ax + b}}\) | \(\displaystyle\frac{2\sqrt{ax + b}}{a} + C\) | \(ax + b > 0, a ≠ 0\) |
| \(x\sqrt{x^2 + a^2}\) | \(\displaystyle\frac{(x^2 + a^2)^{3/2}}{3} + C\) | Všechna reálná čísla |
Součiny s x
| Funkce f(x) | Integrál ∫f(x)dx | Definiční obor |
|---|---|---|
| \(x\sin x\) | \(\sin x - x\cos x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x\cos x\) | \(\cos x + x\sin x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x^2\sin x\) | \((2 - x^2)\cos x + 2x\sin x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x^2\cos x\) | \((x^2 - 2)\sin x + 2x\cos x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \ln x}{2} - \frac{x^2}{4} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^2 \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^3 \ln x}{3} - \frac{x^3}{9} + C\) | \(x > 0\) |
| \(x^n \ln x\) | \(\displaystyle\frac{x^{n+1} \ln x}{n+1} - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C\) | \(x > 0, n ≠ -1\) |
| \(x \arcsin x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \arcsin x}{2} + \frac{\sqrt{1-x^2}}{2} - \frac{x}{2} + C\) | \(-1 ≤ x ≤ 1\) |
| \(x \arctan x\) | \(\displaystyle\frac{x^2 \arctan x}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\arctan x}{2} + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x \sinh x\) | \(x \cosh x - \sinh x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x \cosh x\) | \(x \sinh x - \cosh x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x^n e^{ax}\) | \(\displaystyle\frac{x^n e^{ax}}{a} - \frac{n}{a}\int x^{n-1} e^{ax} dx\) | Všechna reálná čísla, \(a ≠ 0\) |
| \(x^3 e^x\) | \((x^3 - 3x^2 + 6x - 6)e^x + C\) | Všechna reálná čísla |
| \(x\tan x\) | \(x\ln|\cos x| + \displaystyle\frac{x^2}{2} + C\) | \(x ≠ \frac{\pi}{2} + \pi n\) |
Základní integrační pravidla
Linearita:
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
\(\displaystyle\int [af(x) + bg(x)] dx = a\int f(x) dx + b\int g(x) dx\)
Integrace per partes:
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
\(\displaystyle\int u \, dv = uv - \int v \, du\)
Substituce:
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), kde \(u = \varphi(x)\)
\(\displaystyle\int f(\varphi(x))\varphi'(x) dx = \int f(u) du\), kde \(u = \varphi(x)\)
Sudé funkce:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (pokud \(f(-x) = f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx\) (pokud \(f(-x) = f(x)\))
Liché funkce:
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (pokud \(f(-x) = -f(x)\))
\(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0\) (pokud \(f(-x) = -f(x)\))
Základní věta integrálního počtu:
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), kde \(F'(x) = f(x)\)
\(\displaystyle\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)\), kde \(F'(x) = f(x)\)
Nenalezeny žádné výsledky
Zkuste upravit vyhledávací dotaz nebo vyčistit vyhledávací pole
Geometrická interpretace integrace
Komplexní referenční průvodce matematickou integrací
Tato tabulka integrálů poskytuje kompletní referenční příručku pro neurčité integrály běžných matematických funkcí. Tabulka organizuje integrální vzorce podle typu funkce, včetně základních polynomů, exponenciálních a logaritmických funkcí, goniometrických funkcí, inverzních goniometrických funkcí a pokročilých výrazů zahrnujících odmocniny a racionální funkce.
Obecný vzorec pro integraci:
∫ f(x)dx = F(x) + C
Kde F(x) je primitivní funkce k f(x) a C je integrační konstanta.
∫ f(x)dx = F(x) + C
Kde F(x) je primitivní funkce k f(x) a C je integrační konstanta.
Každá položka v referenční tabulce obsahuje původní funkci f(x), její odpovídající integrál ∫f(x)dx a definiční obor platnosti. Tabulka pokrývá základní integrační pravidla, aplikace mocninného pravidla, goniometrické identity, logaritmické a exponenciální integrace a pokročilé techniky pro výrazy s odmocninami.
Pokryté kategorie funkcí
Základní funkce
Konstanty, mocniny xn, převrácené hodnoty 1/x, druhé odmocniny √x
Exponenciální a logaritmické
ex, ax, ln(x), loga(x), xex
Goniometrické
sin(x), cos(x), tan(x), sec2(x), sin2(x), cos2(x)
Inverzní goniometrické
1/√(1-x2), 1/(1+x2), arcsin(x), arctan(x)
Pokročilé výrazy
√(a2-x2), 1/√(x2±a2), racionální funkce
Příklady použití referenční tabulky
- Vyhledání ∫x3dx = x4/4 + C pro integraci polynomů
- Nalezení ∫e2xdx = e2x/2 + C pro exponenciální funkce
- Odkaz na ∫sin(x)dx = -cos(x) + C pro goniometrickou integraci
- Ověření ∫1/√(1-x2)dx = arcsin(x) + C pro inverzní goniometrické funkce
- Vyhledání ∫ln(x)dx = x ln(x) - x + C pro logaritmické funkce
- Nalezení ∫1/(x2+4)dx = (1/2)arctan(x/2) + C pro racionální výrazy
- Vyhledání ∫√(9-x2)dx pro vzorce integrace odmocnin
- Odkaz na ∫x·cos(x)dx = cos(x) + x·sin(x) + C pro součiny
- Kontrola ∫sec2(x)dx = tan(x) + C pro funkce sekans
- Nalezení ∫1/√(x2+1)dx = ln(x + √(x2+1)) + C pro hyperbolické tvary
Referenční příručka obsahuje omezení definičního oboru pro každý integrál, integrační pravidla, jako je linearita a substituční metody, a vizuální znázornění integrace jako plochy pod křivkou. Funkce vyhledávání umožňuje rychlé vyhledání konkrétních typů funkcí nebo matematických výrazů.